Question

（本小題滿分14分）已知關于x的函數f(x)＝＋bx²＋cx＋bc，其導函數為f⁺(x)。令g(x)＝∣f⁺(x) ∣，記函數g(x)在區間[-1、1]上的最大值為M。
（Ⅰ）如果函數f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值；
（Ⅱ）若∣b∣>1，證明對任意的c，都有M>2；
（Ⅲ）若M≥K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）

本小題主要考查函數、函數的導數和不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力和份額類討論的思想（滿分14分）。
（I）解：，由在處有極值，
可得，
解得，或。
若，則，此時沒有極值；
若，則，
當變化時，，的變化情況如下表：

				1
		0	+	0
		極小值		極大值

當時，有極大值，故，即為所求。
（Ⅱ）證法1：，
當時，函數的對稱軸位于區間之外。
在上的最值在兩端點處取得，
故應是和中較大的一個，
即。
證法2（反證法）：因為，所以函數的對稱軸位于區間之外，
在上的最值在兩端點處取得。
故應是和中較大的一個。
假設，則
，將上述兩式相加得：
，導致矛盾，。
（Ⅲ）解法1：，
（1）當時，由（Ⅱ）可知；
（2）當時，函數）的對稱軸位于區間內，
此時
由有
①若則，
于是
②若，則
于是
綜上，對任意的、都有
而當時，在區間上的最大值
故對任意的、恒成立的的最大值為。
解法2：
（1）當時，由（Ⅱ）可知；
（2）當時，函數的對稱軸位于區間內，
此時
，即
下同解法1