Question

已知y=f（x），，對任意實數x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3．
（Ⅰ）當n∈N^*時求f（n）的表達式；
（Ⅱ）若，求b_n；
（ III）記，試證c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令，得，由此導出f（n+1）-f（n）=2，從而求出當n∈N^*時求f（n）的表達式．
（Ⅱ）由得=，由此能夠導出b_n．
（ III）由題設條件可推出，再由放縮法可以證明c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．
解答：解：（Ⅰ）令，
得
故f（n+1）=f（n）+f（1）-3=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2
當n∈N^*時f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]++[f（n）-f（n-1）]
=5+2（n-1）=2n+3
（Ⅱ）由
得=
∴
故
=1+3+5++（2n-1）=n²
∴
（ III）由（Ⅱ）知，c₁=1
∵
∴
=．
點評：本題考查數列的性質和綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．