Question

已知y=f（x）的反函數(shù)是y=f^-1（x），若方程f（x）+x-1=0與f^-1（x）+x-1=0的實數(shù)解分別為α，β，則α+β=（　　）

• A、1
• B、2
• C、-1
• D、-2

Answer 1

分析：將原方程f（x）+x-1=0化成：f（x）=1-x，f^-1（x）+x-1=0化成：f^-1（x）=1-x，再分別畫出式子兩邊對應(yīng)的函數(shù)圖象，將原方程的解轉(zhuǎn)化成圖象的交點問題，再結(jié)合互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象的對稱關(guān)系，得出α，β的中點的橫坐標是直線y=x與y=1-x交點的橫坐標，，最后利用中點坐標公式即可求得結(jié)果．

解答：解：方程f（x）+x-1=0化成：f（x）=1-x，
f^-1（x）+x-1=0化成：f^-1（x）=1-x，
分別畫出函數(shù)y=f（x），y=f^-1（x），y=1-x的圖象，如圖．
原方程的根看成是圖象的交點的橫坐標，
由于函數(shù)y=f（x），y=f^-1（x）的圖關(guān)于直線 y=x對稱，
∴α，β的中點的橫坐標是直線y=x與y=1-x交點的橫坐標，
直線y=x與y=1-x交點的橫坐標是：

1

2

由中點坐標公式得：α+β=1．
故選A．

點評：本題主要考查互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象的對稱關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程思想．屬于基礎(chǔ)題．