Question

如圖，已知多面體ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，它是由一個長方體ABCD﹣A'B'C'D'切割而成，這個長方體的高為b，底面是邊長為a的正方形，其中頂點A₁，B₁，C₁，D₁均為原長方體上底面A'B'C'D'各邊的中點．
（1）若多面體面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA₁的中點，求證：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求該多面體的體積；
（3）當a，b滿足什么條件時AD₁⊥DB₁，并證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）連接AC，BD交于O點，
∵E為AA₁的中點，O為AC的中點，
∴在△AA₁C中，OE為△AA₁C的中位線，
∴OE∥A₁C，
∵OE平面A₁C₁C，A₁C平面A₁C₁C，
∴OE∥平面A₁C₁C；
（2）多面體表面共包括10個面，補全長方體ABCD﹣A'B'C'D'，
則知多面體ABCD﹣A₁B₁C₁D₁體積為：
=V_{ABCD﹣A'B'C'D'}﹣4=4×4×2﹣4×××2×2×2=，
（3）易知CD⊥平面ADD₁，D₁B₁∥DC，D₁B₁，OC確定平面CDD₁B₁，
∵AD₁平面ADD₁，
∴CD⊥AD₁，
若AD₁⊥DB₁，
∵DB₁∩CD=D，
∴AD₁⊥平面CDD₁B₁，
∵DD₁平面CDD₁B₁，
∴AD₁⊥DD₁，取AD中點M，則D₁M∥A'A，且D₁M=A'A，
∴在RtADD₁中，2D₁M=AD，即a=2b
即：當a=2b時，AD₁⊥DB₁．