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如圖,已知多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=1.
(1)求直線AE與平面CDE所成角的大。ㄓ梅慈呛瘮抵当硎荆;
(2)求多面體ABCDE的體積.
分析:(1)要求線面角,必需找到該斜線與其射影的夾角,即要證明線面垂直,進而得到垂線、斜線與斜線的射影,即可根據解三角形的有關知識解決問題.
(2)結合(1)中的證明思路可得:線面垂直即CN⊥平面ABED,再利用棱錐的體積公式,進而求出四棱錐的體積;
解答:解:(1)取CD中點M,連接AM與EM (1分)
∵△ACD是正三角形,
∴AM⊥CD.(2分)
∵DE⊥平面ACD,
∴DE⊥AM.(3分)
又CD∩DE=D,
∴AM⊥平面CDE.(4分)
所以∠AEM就是AE與平面CDE所成角 (5分)
根據題意可得:在△AME中,AM=
3
,EM=
5
,
tan∠AEM=
15
5
.(7分)
所以直線AE與平面CDE所成角的大小為arctan
15
5
(寫成arcsin
6
4
或arccos
10
4
也可)
.(8分)
(2)取AD中點N,同理(1)可證CN⊥平面ABED,且CN=
3
.(10分)
由題意可得:VABCDE=VC-ABED=
1
3
SABED•CN=
1
3
AB+DE
2
•AD•CN=
1
3
3
2
•2•
3
=
3
.(14分)
點評:本題主要考查線面垂直的判定定理與幾何體體積的求解,以及線面角,而解決空間角的步驟是:找角,證角,求角三步,空間角是高考比考內容.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知多面體ABCDEF中,AB⊥平面ACDF,DE⊥平面ACDF,△ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=AF=1,DF=
3

(Ⅰ)求證:DF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求多面體ABCDEF的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知多面體ABCDE中,DE⊥平面DBC,DE∥AB,BD=CD=BC=AB=2,F為BC的中點.
(Ⅰ)求證:DF⊥平面ABC;
(Ⅱ)求點D到平面EBC的距離的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F為CE的中點.
( I)求證:求證AF⊥CD;
(II)求多面體ABCDE的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F為CD的中點.
(Ⅰ)求證:AF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求三棱錐A-BCE的體積.

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同步練習冊答案
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