Question

如圖，已知多面體ABCDEF中，AB⊥平面ACDF，DE⊥平面ACDF，△ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=AF=1，DF=

3

．
（Ⅰ）求證：DF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）取△ACD邊CD上的中點G，連接AG，由等邊三角形三線合一可得AG⊥CD，進而證得四邊形AFGD為平行四邊形后，可得DF⊥CD，再由DE⊥平面ACDF，由線面垂直的性質可得DE⊥DF，進而由線面垂直的判定定理可得DF⊥平面CDE；
（Ⅱ）將多面體ABCDEF補成一個直三棱柱，則其體積V=V_CDE-NFM-V_C-ABN-V_E-MFB，代入棱柱體積公式及棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵取△ACD邊CD上的中點G，連接AG
由△ACD是邊長為2的正三角形，
故AG=DF=

3

，AG⊥CD，DG=AF=1，
則四邊形AFGD為平行四邊形
則DF⊥CD，
又∵DE⊥平面ACDF，
∴DE⊥DF
又∵DE∩CD=D，DE，CD?平面CDE
∴DF⊥平面CDE．…..…..（6分）
解：（Ⅱ）可證該幾何體是直三棱柱EFM-CDE的一部分，
其體積V滿足：

V=VCDE-NFM-VC-ABN-VE-MFB = 1 2 ×2×2× 3 - 1 3 × 1 2 ×1×1× 3 - 1 3 × 1 2 × 2 × 2 × 3 = 3 3 2

…..（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱柱，棱錐的體積，熟練掌握線面垂直的性質及判定定理是解答的關鍵．