Question

【題目】已知拋物線的焦點為，，為拋物線上不重合的兩動點，為坐標原點，，過，作拋物線的切線，，直線，交于點．

（1）求拋物線的方程；

（2）問：直線是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由；

（3）三角形的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，；（3）是，.

【解析】

（1）根據焦點坐標直接求拋物線方程；

（2）設直線的方程是，與拋物線方程聯立，得到根與系數的關系，同時，用坐標表示，并代入根與系數的關系，求得定點；

（3）由（2）知，直線的方程是，與拋物線方程聯立，得到

，，求弦長，利用導數的幾何意義求過，作拋物線的切線，，并求交點的坐標，求點到直線的距離，并求的面積，和面積的最小值.

（1）由得，所以拋物線方程為．

（2）當斜率不存在時，與對稱軸平行，沒有兩個交點，

當斜率存在時，設直線方程為，，，

由得，則，．

又，得，即，

∴，所以直線過定點．

（3）由得，則，

∴

設，由，

所以直線，即．

同理直線，

又直線，交于點，則有，

可知點、在直線上，與直線方程對應系數相等，

則，

則到直線的距離．

所以三角形的面積

則當時，．