Question

橢圓C：的離心率為，且過（2，0）點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當直線l：y=x+m與橢圓C相交時，求m的取值范圍；
（3）設直線l：y=x+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若，求m的值．

Answer 1

解：（1）因為
所以，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以橢圓C的方程為．
（2）聯立，消去y得5x²+8mx+4m²﹣4=0，
△=64m²﹣80（m²﹣1）=﹣16m²+80，
令△＞0，即﹣16m²+80＞0，解得．
（3）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由（2）得，
又因為，所以∠AOB為直角，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，
即，
解得；