Question

已知橢圓C:，的離心率為，A,B分別為橢圓的長軸和短軸的端點，M為AB的中點，O為坐標原點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過（-1,0）的直線l與橢圓交于P、Q兩點，求POQ的面積的最大時直線l的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）. （Ⅱ）當直線的方程為時，面積最大.  

【解析】本試題主要是考查而來橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

（1）由于根據題目中的橢圓的性質，可知系數a,b,c的關系式，進而求解得到方程。

（2）設出直線方程與橢圓方程聯立方程組，借助于韋達定理，來求解點到直線的距離，來表示三角形的面積，進而得到最值。

解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，則，解得，所以橢圓的方程為.                                              

                                                      -----------------4分    

（Ⅱ）方法一：設交點，，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

則易得.                                            --------------6分

當直線的斜率存在時，設其方程為（），聯立橢圓方程，得

，兩個根為  

恒成立，，               -----------7分

則，

又原點到直線的距離=，                            --------------8分 

所以

                                           --------------11分

所以，當直線的方程為時，面積最大.              --------------12分

方法二：設交點，，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

則易得.                                                    ----------6分

當直線的斜率存在時，設其方程為（），聯立橢圓方程，得

，兩個根為，

恒成立，，                  -----------7分

                      ---------------8分

        =

                                                --------------11分

所以，當直線的方程為時，面積最大.                 -----------12分