Question

已知橢圓C： 的離心率為，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和為6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點，點P(0,1)，且滿足PA＝PB，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

解　(1)由已知2a＝6，＝，解得a＝3，c＝，所以b²＝a²－c²＝3，故橢圓C的方程為＋＝1。

(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則AB的中點為E.

由得(1＋3k²)x²－12kx＋3＝0，∵直線與橢圓有兩個不同的交點，

∴Δ＝144k²－12(1＋3k²)>0，解得k²>.且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

而y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－4＝k·－4＝－，∴E點坐標為.

∵PA＝PB，∴PE⊥AB，k_PE·k_AB＝－1.∴·k＝－1.解得k＝±1，滿足k²>，

∴直線l的方程為x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.

 

【解析】略