Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且點（a₁³+a₂³+…+a_n³，S_n）（n∈N^*）在函數y=

x

的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：2 an=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得S_n=

a13+a23+…+an3

，從而an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，進而an+12-an2=an+1+an，由此能推導出數列{a_n}是首項為l，公差為l的等差數列，求出a_n=n．
（2）由2 an=2ⁿ=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，得2^n-1=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn-1

2n-1-1

，由此能求出b_n=2^n-1（2ⁿ-1）．

解答： 解：（1）由已知得S_n=

a13+a23+…+an3

，
當n=1時，有a1=S1=

a13

，
由a_n＞0，解得a₁=1，
由S_n=

a13+a23+…+an3

，
得a13+a23+…+an3=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
則有a13+a23+…+an3+an+13=（a₁+a₂+…+a_n+1）²，②
②-①，得an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，
由于a_n＞0，所以an+12=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，③
同樣有，an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，
所以a_n+1-a_n=l，
由于a₂-a₁=l，
即當n≥l時都有a_n+1-a_n=1，
所以數列{a_n}是首項為l，公差為l的等差數列，故a_n=n．
（2）∵2 an=2ⁿ=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，①
∴2^n-1=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn-1

2n-1-1

，②
①-②，得：

bn

2n-1

=2^n-1，
∴b_n=2^n-1（2ⁿ-1）．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．