Question

16．在某化學反應的中間階段，壓力保持不變，溫度從1°變化到5°，反應結果如下表所示（x代表溫度，y代表結果）：

x	1	2	3	4	5
y	3	5	7	10	11

（1）請在給出的坐標系中畫出上表數據的散點圖（點要描粗）
（2）求化學反應的結果y對溫度x的線性回歸方程$\hat y=\widehatbx+\hat a$；
（3）判斷變量x與y是正相關還是負相關，并預測當溫度達到10°時反應結果為多少？
附：線性回歸方程$\hat y=\widehatbx+\hat a$中，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）在給出的坐標系中畫出數據的散點圖即可；
（2）由題意計算平均數與回歸系數，寫出回歸方程，
（3）由回歸系數$（\widehatb=2.1＞0）$判斷x與y之間是正相關，利用回歸方程計算x=10時$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（1）在給出的坐標系中畫出上表數據的散點圖（點要描粗），如圖所示；

（2）由題意，n=5，計算$\overline x=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{x_i}=3$，
$\overline y=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{y_i}=7.2$，
又$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}-5{\overline x^2}=55-5×9=10$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}-5\overline x\overline y=129-5×3×7.2=21$；
∴$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{21}{10}=2.1$，
$\widehata=\overline y-b\overline x=7.2-2.1×3=0.9$，
故所求的回歸方程為$\widehaty=2.1x+0.9$；
（3）由于變量y的值隨溫度x的值增加而增加$（\widehatb=2.1＞0）$，故x與y之間是正相關．
當x=10時，$\widehaty=2.1×10+0.9=21.9$，
即預測當溫度達到10°時反應結果為21.9．

點評 本題考查了散點圖與線性回歸方程的應用問題，是中檔題．