Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，a₁=，若以a₁，a₂，…，a_n為系數(shù)的二次方程：a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*且n≥2）都有根α、β滿足3α-αβ+3β=1．
（1）求證：{a_n-}為等比數(shù)列；
（2）求a_n；
（3）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理分別求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，進(jìn)而求得a_n=a_n-1+，進(jìn)而可推知為定值，原式得證．（2）先根據(jù)a₁求得數(shù)列{a_n-}的首項(xiàng)，再由（1）求得的公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)而可得a_n
（3）再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得S_n．
解答：（1）證明：∵α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1得a_n=a_n-1+，
∴==為定值．
∴數(shù)列{a_n-}是等比數(shù)列．
（2）解：∵a₁-=-=，
∴a_n-=×（）^n-1=（）ⁿ．
∴a_n=（）ⁿ+．
（3）解：S_n=（+++）+=+=-．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．