Question

設數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3（n=4，5，…），則a₂₀₁₃=

 

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Answer 1

分析：在數列遞推式a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3中，以n+1替換n，得到a_n+1=a_n+a_n-1-a_n-2，作和后可得數列{a_n}的奇數項和偶數項均構成等差數列，由已知求出奇數項的公差，代入等差數列的通項公式求得a₂₀₁₃的值．

解答：解：由a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，得
a_n+1=a_n+a_n-1-a_n-2，
兩式作和得：a_n+1=2a_n-1-a_n-3．
即a_n+1+a_n-3=2a_n-1（n=4，5，…）．
∴數列{a_n}的奇數項和偶數項均構成等差數列，
∵a₁=1，a₃=9，∴奇數項公差為8．
則a₂₀₁₃=a₁+8（1007-1）=1+8×1006=8049．
故答案為：8049．

點評：本題主要考查由遞推公式推導數列的通項公式，其中滲透了周期數列這一知識點，屬中檔題．