Question

在m（m≥2）個不同數的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m時P_i＞P_j（即前面某數大于后面某數），則稱P_i與P_j構成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列（n+1）n（n-1）…321的逆序數為a_n，如排列21的逆序數a₁=1，排列321的逆序數a₃=6．
（Ⅰ）求a₄、a₅，并寫出a_n的表達式；
（Ⅱ）令，證明2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由排列21的逆序數a₁=1，排列321的逆序數a₂=3，排列4321的逆序數a₃=6得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，找出規律得到a_n即可；
（Ⅱ）利用基本不等式的到b₁+b₂+…+b_n＞2n；根據，…，列舉出各項得到b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，即得證．
解答：解：（Ⅰ）由排列21的逆序數a₁=1，排列321的逆序數a₂=3，排列4321的逆序數a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，所以a_n=n+（n-1）+…+2+1=；
（Ⅱ）因為，…，
所以b₁+b₂+…+b_n＞2n．
又因為，…，
所以b₁+b₂+…+b_n=2n+2[（）+（）+…+（）]=．
綜上，2n＜b₁+b₂+b_n＜2n+3，n=1，2，…
點評：考查學生會利用數列求和的方法證明不等式成立，會利用基本不等式求函數的最小值．