Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面 ，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、二面角等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，利用向量法證明平面，利用已知的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，P，B坐標(biāo)，計(jì)算出向量和坐標(biāo)，由于說明，再利用線面平行的判定平面；第二問，利用向量垂直的充要條件證明，而，則利用線面垂直的判定得平面EFD，所以平面EFD的一個(gè)法向量為，再利用法向量的計(jì)算公式求出平面DEB的法向量，最后利用夾角公式求二面角的正弦值.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè). ……..…1分

（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).依題意得.
因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052714673534.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，所以點(diǎn)是此正方形的中心，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.               
所以,即,而平面,且平面,
因此平面．                           ……5分
（2）,又,故,所以.
由已知，且,所以平面. ………7分
所以平面的一個(gè)法向量為.,
不妨設(shè)平面的法向量為
則                      
不妨取則，即  …10分
設(shè)求二面角的平面角為
 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052716170576.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
二面角的正弦值大小為． ………12分