Question

8．在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$（n∈N*）
（1）寫出a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想這個數列的通項公式a_n
（2）用數學歸納法證明所得的結論．

Answer 1

分析 （1）根據已知的遞推關系，可以構造出我們熟悉的等差數列．再用等差數列的性質進行求解．
（2）利用數學歸納法的證明步驟，證明即可．

解答 解：（1）根據a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，a₁=1，a₂=$\frac{2}{3}$，
a₃=$\frac{1}{2}$；
a₄=$\frac{2}{5}$；
a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，得2a_n+1+a_n+1a_n=2a_n，
兩邊同時除以a_n+1a_n，得到$\frac{2}{{a}_{n+1}}$-$\frac{2}{{a}_{n}}$=1，
所以數{$\frac{2}{{a}_{n}}$}是公差為1的等差數列，且$\frac{2}{{a}_{1}}$=2，
所以$\frac{2}{{a}_{n}}$=n+1，所以a_n=$\frac{2}{n+1}$．
（2）①由（1）已得當n=1時，命題成立；
②假設n=k時，命題成立，即a_k=$\frac{2}{k+1}$，
當n=k+1時，$\frac{2}{{a}_{k+1}}-\frac{2}{{a}_{k}}=1$，∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=1+$\frac{2}{\frac{2}{k+1}}$=k+2，∴a_k+1=$\frac{2}{k+2}$，
即當n=k+1時，命題成立．
根據①②得n∈N⁺，a_n=$\frac{2}{n+1}$都成立．
這個數列的通項公式a_n=$\frac{2}{n+1}$．

點評 構造數列是對已知數列的遞推關系式變形后發現規律，創造一個等差或等比數列，借此求原數列的通項公式，是考查的重要內容．同時考查數學歸納法的應用，考查邏輯推理能力．