Question

【題目】拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，已知A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°，過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則 的最大值為（ ）
A.2
B.
C.1
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF， 由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，
配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（ ）2 ，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣ （a+b）2= （a+b）2
得到|AB|≥ （a+b）．
所以 ≤ ，
即 的最大值為 ．
故選：D

設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，進而根據基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．