Question

【題目】已知函數，（ 且）為定義域上的增函數， 是函數的導數，且的最小值小于等于0.

（1）求的值；

（2）設函數，且，求證： .

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由為增函數可得， 恒成立，可轉化為恒成立，求的最小值.可得的值.

（2）由，可得，

令，構造并求值域，可得，解不等式可得.

試題解析：（1），

由為增函數可得， 恒成立，則由 ，設，則，若由和可知 在 上減，在 上增，在1處取得極小值即最小值，所以，所以，當時，易知，當時，則，這與矛盾，從而不能使得恒成立，所以.

由可得， ，即，由之前討論可知， ，當時， 恒成立 ，當時， ，綜上.

（2），因為，所以，所以

， ，

所以，

令， ， ， 在上增，在上減， ，所以，整理得，解得或（舍），所以得證.