Question

雙曲線C與橢圓

x2

36

+

y2

16

=1 有相同的焦點，且C的漸近線為x±

3

y=0，則雙曲線C的方程是

x2

15

-

y2

5

=1

．

Answer 1

分析：求出橢圓的焦點坐標；據雙曲線的系數滿足c²=a²+b²；雙曲線的漸近線的方程與系數的系數的關系列出方程組，求出a，b；寫出雙曲線方程．

解答：解：橢圓方程為：

x2

36

+

y2

16

=1 
其焦點坐標為（±2

5

，0）
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
∵橢圓與雙曲線共同的焦點
∴a²+b²=20①
∵漸近線方程是x±

3

y=0，
∴

b

a

=

3

3

②
解①②組成的方程組得a²=15，b²=5，
所以雙曲線方程為

x2

15

-

y2

5

=1
故答案為

x2

15

-

y2

5

=1．

點評：題考查利用待定系數法求圓錐曲線的方程其中橢圓中三系數的關系是：a²=b²+c²；雙曲線中系數的關系是：c²=a²+b²．