Question

如圖，線段AB的兩個端點A、B分別分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=5，點M是AB上一點，且|AM|=2，點M隨線段AB的運動而變化．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）設F₁為點M的軌跡的左焦點，F₂為右焦點，過F₁的直線交M的軌跡于P，Q兩點，求的最大值，并求此時直線PQ的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用代入法，即可求點M的軌跡方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，可得，換元，利用基本不等式，即可求面積的最大值，從而求此時直線PQ的方程．
解答：解：（1）由題可知AM=AB，且可設A（x，0），M（x，y），B（0，y），
則可得，
又|AB|=5，即，∴，這就是點M的軌跡方程．
（2）由（1）知F₁為（，0），F₂為（，0），
由題設PQ為，
直線方程代入橢圓方程，可得（4m²+9）y²--16=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則△＞0恒成立，且，
∴==
令t=（t≥1），則=≤6，
當且僅當，即m=時取“=”
∴的最大值為6，
此時PQ的方程為2x+y-2=0或2x-y-2=0．
點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．