Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)圖象在點處的切線方程；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）是否存在實數(shù)，對任意的恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；

（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（3）

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）首先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)參數(shù)取值的不確定性，對其進(jìn)行分類討論求解，分類討論不要出現(xiàn)遺漏，不要出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象；（3）與函數(shù)有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點.

試題解析： 【解析】
1分

（1）當(dāng)時，，，

∴所求的切線方程為，

即. 4分

（2）①當(dāng)，即時，

，在上單調(diào)遞增．

②當(dāng)，即時，

或時，；2時，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)，即時，或時，；

時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 9分

（3）假設(shè)存在這樣的實數(shù)滿足條件，不妨設(shè)2.

由知成立，

令，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，

即在上恒成立．

，故存在這樣的實數(shù)滿足題意，

其范圍為 14分

考點：1、求曲線的切線方程；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；3、與函數(shù)有關(guān)的探索性問題.