Question

在Rt△ABC中，c，r，S分別表示它的斜邊長，內切圓半徑和面積，則

cr

S

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據內切圓半徑與三角形面積關系可求得

cr

S

=

rc

(a+b+c)r 2

，化簡整理進而利用正弦定理把邊的問題轉化為角的正弦，利用兩角和公式化簡整理，利用A的范圍求得sinA+sinB的范圍，進而求得

cr

S

的范圍．

解答：解：

cr

S

=

rc

(a+b+c)r 2

=

2c

a+b+c

=

2

sinA+sinB+1

=

2

sinA+cosA+1

∵sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）
∵0＜A＜

π

2

∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

∴

2

2

＜sin（A+

π

4

）≤1
∴1＜sinA+cosA＜=

2

∴2＜sinA+sinB+1≤

2

+1
∴2（

2

-1）≤

2

sinA+cosA+1

＜1
即2（

2

-1）≤

cr

S

＜1
故答案為[2

2

-2，1)

點評：本題主要考查了正弦定理及其變形公式的運用．考查了學生對正弦定理的理解和靈活運用．