Question

已知函數f(x)=

3

cos2x+2sinxcosx．
（Ⅰ）化簡f（x）的表達式，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0， 

π

2

]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）由輔助角公式將函數合并化簡得f（x）=2sin（2x+

π

3

），再根據函數y=Asin（ωx+φ）的周期公式，即可得到f（x）的周期；
（II）根據自變量x的范圍，得到2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，然后結合正弦函數的圖象與性質，即可得到函數f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

cos2x+sin2x=2（sin

π

3

cos2x+cos

π

3

sin2x）=2sin（2x+

π

3

），…（5分）
∴f（x）的表達式為y=2sin（2x+

π

3

），周期為T=

2π

2

=π…（7分）
（Ⅱ）∵x∈[0， 

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

， 

4π

3

]，…（9分）
∴當2x+

π

3

=

4π

3

時，即x=

π

2

時，f（x）的最小值為2sin

4π

3

=-

3

，
當2x+

π

3

=

π

2

時，即x=

π

12

時，f（x）的最大值為2sin

π

2

=2，…（12分）
∴函數f（x）的值域為[-

3

， 2]…（14分）

點評：本題給出三角函數表達式，求函數的周期與值域，著重考查了三角恒等變換、三角函數的周期及其求法等知識點，屬于基礎題．