Question

2014年8月以“分享青春，共筑未來”為口號的青奧會在江蘇南京舉行，為此某商店經銷一種青奧會紀念徽章，每枚徽章的成本為30元，并且每賣出一枚徽章需向相關部門上繳a元（a為常數，2≤a≤5）．設每枚徽章的售價為x元（35≤a≤41），根據市場調查，日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例．已知當每枚徽章的售價為40元時，日銷售量為10枚．
（1）求該商店的日利潤L（x）與每枚徽章的售價x的函數關系式；
（2）當每枚徽章的售價為多少元時，該商店的日利潤L（x）最大？并求出L（x）的最大值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數模型的選擇與應用

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出比例系數，利用該商店的日利潤L（x）等于銷售量與每枚徽章的利潤與比例系數乘積，列出函數關系式；
（2）通過x的范圍，利用函數的導數，判斷函數的單調性，求解當每枚徽章的售價為多少元時，該商店的日利潤L（x）最大，然后求出L（x）的最大值．

解答： 解：（1）該商店的日利潤L（x）與每枚徽章的售價x，
日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例．已知當每枚徽章的售價為40元時，日銷售量為10枚，
比例系數為：10e⁴⁰．
該商店的日利潤L（x）與每枚徽章的售價x的函數關系式：L(x)=10e40•

x-30-a

ex

（35≤a≤41）；
（2）當35≤x≤40時，L(x)=10e40•

x-30-a

ex

，L′(x)=10e40•

31+a-x

ex

，4≤a≤6，35≤31+a≤37，
因為35≤x≤40，令L′（x）=0得x=a+31
當35≤x≤a+31時L'（x）＞0
當a+31≤x≤40時L'（x）＜0
故L_max（x）=L（a+31）=10e^9-a
當40≤x≤50時，L（x）=（x-30-a）

16000

x2

顯然L（x）在40≤x≤50時，
L′（x）=

16000(x2-(x-30-a)2x)

x4

=

16000(60+2a-x)

x3

＞0
所以L（x）在40≤x≤50時為增函數
故40≤x≤50時，L_max（x）=L（50）
又L（a+31）=10e^9-a≥10e³
L（50）=

32

5

（20-a）≤

32×16

5

，
故L（a+31）＞L（50）
于是每件產品的售價x為a+31時才能使L（x）最大，L（x）的最大值為10e^9-a
綜上，若2≤a≤4，當每枚徽章的售價為35元時，該商店的日利潤L（x）最大，且L(x)max=10(5-a)e5；
若4＜a≤5，當每枚徽章的售價為（a+31）元時，該商店的日利潤L（x）最大，且L(x)max=10e9-a．

點評：本題考查函數的實際應用，對數在最值中的應用，考查分析問題解決問題的能力．難度比較大．