Question

已知P是△ABC內任一點，且滿足

AP

= x

AB

+y

AC

，x、y∈R，則y-2x的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：連接AP并延長，交邊BC于點Q，則可設

AP

=λ

AQ

，λ∈(0，1)

BQ

=μ

QC

，μ∈(0，1)．根據向量之間的關系可得x=

λ

1+μ

，y

λμ

1+μ

，∴x+y=λ∈（0，1）．于是x，y滿足

0＜x＜1 0＜y＜1 0＜x+y＜1

，進而根據線性規劃可得y-2x的取值范圍．

解答：解析：連接AP并延長，交邊BC于點Q，
則可設

AP

=λ

AQ

，λ∈(0，1)

BQ

=μ

QC

，μ∈(0，1)．
則

AQ

=

AB +μ AC

1+μ

，

AP

=λ

AQ

=

λ AB +λμ AC

1+μ

，于是x=

λ

1+μ

，y

λμ

1+μ

，
∴x+y=λ∈（0，1）．于是x，y滿足

0＜x＜1 0＜y＜1 0＜x+y＜1

，
根據線性規劃可得y-2x的取值范圍是（-2，1）．
故答案為：（-2，1）

點評：本題考查了向量的加法運算以及三角形法則，平面向量基本定理的應用，解答關鍵是利用簡單線性規劃的應用求范圍．