Question

下列命題中正確的有

 

  （填寫正確的序號）
（1）已知f（n）=sin

nπ

6

，則f（1）+f（2）+…+f（2014）=1；
（2）已知向量

OA

=（0，1），

OB

=（k，k），

OC

=（1，3），且

AB

∥

AC

，則實數k=-1；
（3）四位二進制數能表示的最大十進制數是15；
（4）函數y=cos（2x+

π

3

）的圖象的一個對稱中心是（

π

12

，0）
（5）若對任意實數a，函數y=5sin（

2k+1

3

πx-

π

6

）（k∈N）在區間[a，a+3]上的值

5

4

出現不少于4次且不多于8次，則k的值是2．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用,算法和程序框圖,簡易邏輯

分析：根據正弦型函數的周期性，利用分組求和法，可判斷（1）；根據向量平行的充要條件，可判斷（2）；根據二進制與十進制之間的轉化關系，可判斷（3）；根據余弦型函數的對稱性，可判斷（4）；根據正弦型函數的周期性，構造關于k的不等式組，解出k值，可判斷（5）．

解答： 解：對于（1）∵f（n）=sin

nπ

6

是周期為12的周期函數，
在同一周期內，f（1）+f（2）+…+f（12）=0，
2014=167×12+10，
故f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）+f（2）+…+f（10）=

1

2

，
故（1）錯誤；
對于（2），∵向量

OA

=（0，1），

OB

=（k，k），

OC

=（1，3），
∴

AB

=（k，k-1），

AC

=（1，2），
又∵

AB

∥

AC

，
∴2k-（k-1）=0，解得k=-1；
故（2）正確；
對于（3），四位二進制數能表示的最大數為1111_（2）=15_（10），故（3）正確；
對于（4），當x=

π

12

時，y=cos（2x+

π

3

）=cos

π

2

=0，故（

π

12

，0）點是函數y=cos（2x+

π

3

）的圖象的一個對稱中心，故（4）正確；
對于（5），由于函數在一個周期內有且只有2個不同的自變量使其函數值為3，
因此該函數在區間[a，a+3]（該區間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期，

3≥2T 3≤4T

，
因此，

3

4

≤T≤

3

2

，即

3

4

≤

2π

2k+1 3 π

≤

3

2

，求得

13

6

≤k≤

29

6

，可得k=3，或 k=4，故（5）錯誤；
故正確的命題有：（2）（3）（4），
故答案為：（2）（3）（4）

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數的圖象和性質，進制轉化，向量平行的充要條件，難度中檔．