Question

（2009•嘉定區一模）已知函數f（x）=x|x-1|-1．
（1）求滿足f（x）=x的x值；
（2）寫出函數f（x）的單調遞增區間；
（3）解不等式f（x）＜0（結果用區間表示）．

Answer 1

分析：（1）討論x的范圍，將絕對值去掉得到分段函數，然后求解方程f（x）=x，即可求出滿足條件的x；
（2）分段研究該函數的單調性，從而求出該函數的單調區間；
（3）當x≥1時，解不等式x²-x-1＜0，當x＜1時，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立，從而求出滿足條件的x的范圍．

解答：解：（1）f(x)=x|x-1|-1=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，…（1分）
所以，當x≥1時，由f（x）=x得x²-x-1=x，x²-2x-1=0，解得x=1±

2

，
因為x≥1，所以x=1+

2

．…（2分）
當x＜1時，由f（x）=x得-x²+x-1=x，x²=-1，無實數解．…（3分）
所以，滿足f（x）=x的x值為1+

2

．…（4分）
（2）由f(x)=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，
當x≥1時，f（x）的單調遞增區間為[1，+∞）；…（6分）
當x＜1時，f（x）的單調遞增區間為(-∞，

1

2

]．…（8分）
所以，f（x）的單調遞增區間是(-∞，

1

2

]和[1，+∞）．…（9分）
（3）當x≥1時，由x²-x-1＜0得1≤x＜

1+ 5

2

，…（12分）
當x＜1時，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立．…（15分）
所以，不等式f（x）＜0的解集為(-∞， 

1+ 5

2

)．…（16分）

點評：本題主要考查了含絕對值的函數的單調性以及解方程，同時考查了分段討論的思想，屬于中檔題．