【題目】已知函數
，
，
.
（1）求
的最大值；
（2）若對
，總存在
，使得
成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）利用導數分析函數
的單調性，進而可求得函數的最大值；
（2）由題意可知
，對函數
求導，對實數
的取值進行分類討論，利用導數分析函數在區間
上的單調性，結合
可得出關于實數的不等式，進而可求得實數的取值范圍.
（1）函數
的定義域為
，
，
當
時，
；當
時，
.
所以，函數的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
，
所以，函數在
處取得極大值，亦即最大值，即
；
（2）由題意可知，即.
，則
，所以，函數
在區間上單調遞增，
當
時，
，即
.
①當
時，即當
時，
對任意的恒成立，
此時，函數在區間上單調遞增，則
，
，解得
，此時；
②當
時，即當
時，
對任意的恒成立，
此時，函數在區間上單調遞減，則
，
，解得
，此時
；
③當
時，即當
時，則存在
，使得
，
且當
時，
；當
時，
.
所以，函數在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增，
，
，
.
當
時，
，解得
；
當
時，
，解得，此時.
綜上所述，實數的取值范圍是.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業有甲、乙兩個研發小組，他們研究新產品成功的概率分別為
和
，現安排甲組研發新產品A，乙組研發新產品B，設甲、乙兩組的研發相互獨立．
（1）求恰好有一種新產品研發成功的概率；
（2）若新產品A研發成功，預計企業可獲得利潤120萬元，不成功則會虧損50萬元；若新產品B研發成功，企業可獲得利潤100萬元，不成功則會虧損40萬元，求該企業獲利ξ萬元的分布列和期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《高中數學課程標準》(2017 版)規定了數學學科的六大核心素養.為了比較甲、乙兩名高二學生的數學核心素養水平，現以六大素養為指標對二人進行了測驗，根據測驗結果繪制了雷達圖(如圖，每項指標值滿分為
分，分值高者為優)，則下面敘述正確的是（ ）
(注:雷達圖(Radar Chart)，又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網圖(Spider Chart)，可用于對研究對象的多維分析)
A.甲的數據分析素養高于乙
B.甲的數學建模素養優于數學抽象素養
C.乙的六大素養中邏輯推理最差
D.乙的六大素養整體水平優于甲
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】自由購是通過自助結算方式購物的一種形式.某大型超市為調查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了100人，統計結果整理如下：
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人數 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（Ⅰ）現隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在
且未使用自由購的概率；
（Ⅱ）從被抽取的年齡在
使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用
表示這3人中年齡在
的人數,求隨機變量的分布列及數學期望；
（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環保購物袋.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：
（1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；
（2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數
，并將完成生產任務所需時間超過和不超過的工人數填入下面的列聯表：
超過 | 不超過 | |
第一種生產方式 | ||
第二種生產方式 |
（3）根據（2）中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？
附：
，
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