Question

5．如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速逆時針旋轉，每轉一圈需要6min，其中心O距離地面40.5m，摩天輪的半徑為40m，已知摩天輪上點P的起始位置在最低點處，在時刻t（min）時點P距離地面的高度為f（t）=Asin（ωt+φ）+h（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0，t≥0）．
（Ⅰ）求f（t）的單調減區間；
（Ⅱ）求證：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意求出A，ω 和φ，即可求函數f（t）的解析式；再求f（t）的單調減區間
（Ⅱ）根據函數f（t）的解析式，化簡計算f（t）+f（t+2）+f（t+4），可得f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：每轉一圈需要6min，摩天輪的半徑為40m，可得$ω=\frac{2π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
其中心O距離地面40.5m，即h=40.5，φ=-$\frac{π}{2}$．
故函數f（t）的解析式：f（t）=40sin（$\frac{π}{3}t-\frac{π}{2}$）+40.5．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{3}t-\frac{π}{2}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，（k∈N）
解得：3+6k≤t≤6+6k．
故f（t）的單調減區間為[3+6k，6+6k]，（k∈N）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（t）=40sin（$\frac{π}{3}t-\frac{π}{2}$）+40.5=40.5-40cos（$\frac{π}{3}t$）
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3-（40cos（$\frac{π}{3}t$）-40cos[$\frac{π}{3}$（t+2）]-40cos[$\frac{π}{3}$（t+4）]
=121.5-40cos$\frac{π}{3}t$-40cos（$\frac{π}{3}t+\frac{2π}{3}$）-40cos（$\frac{π}{3}t+\frac{4π}{3}$）．
∵cos$\frac{π}{3}t$+cos（$\frac{π}{3}t+\frac{2π}{3}$）+cos（$\frac{π}{3}t+\frac{4π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}t$-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}t$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}t$-cos（$\frac{π}{3}t$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{π}{3}t$=0
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=40.5×3=121.5
故得f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，根據圖象求出函數的解析式是解決本題的關鍵．要求熟練掌握函數圖象之間的變化關系