Question

20．己知函數f（x）=x³-3x，若過點A（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． -1＜m＜1
• B． -4＜m＜4
• C． -1＜m＜-2
• D． -3＜m＜-2

Answer 1

分析 先設切點坐標，用導數求出切線斜率，再用斜率公式求出切線斜率，兩者相等，得到含m的方程，因為過點A（1，m） 可作曲線y=f（x）的三條切線，所以前面所求方程有3解，再借助導數判斷何時方程有3解即可．

解答 解；設切點坐標（x₀，x₀³-3x），
∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3
∴曲線y=f（x）在（x₀，x₀³-3x）處的切線斜率為3x₀²-3
又∵切線過點A（1，m），∴切線斜率為$\frac{{{x}_{0}}^{3}-3x-m}{{x}_{0}-1}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{3}-3x-m}{{x}_{0}-1}$=3x₀²-3
即2x₀³-3x₀²+m+3=0  ①
∵過點A（1，m） 可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程①有3解．
令ω（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，則ω（x₀）圖象與x軸有2個交點，∴ω（x₀）的極大值與極小值異號
ω′（x₀）=6x₀²-6x₀，令ω′（x₀）=0，得x₀=0或1
∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0
∴-3＜m＜-2，
故選D．

點評 本題主要考查了導數的幾何意義，以及利用導數判斷方程根的個數．