Question

已知函數f（x）=，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若在區間上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切點的坐標，利用導數求出直線切線，即可求出切線方程；
（Ⅱ）求出f′（x）=0時x的值，分0＜a≤2和a＞2兩種情況討論函數的增減性分別得到f（-）和f（）及f（-）和f（）都大于0，聯立求出a的解集的并集即可．
解答：（Ⅰ）解：當a=1時，f（x）=，
f（2）=3；f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），
即y=6x-9；
（Ⅱ）解：f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．
令f′（x）=0，解得x=0或x=．
以下分兩種情況討論：
（1）若0＜a≤2，則；
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

當時，f（x）＞0，等價于即．
解不等式組得-5＜a＜5．因此0＜a≤2；
（2）若a＞2，則
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：
當時，f（x）＞0等價于即
解不等式組得或．因此2＜a＜5．
綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0＜a＜5．
點評：本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數研究函數的單調性與極值、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法．