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求函數f（x）=（x-1）²（x-2）的極大值．

分析：求導數f′（x），解方程f′（x）=0，列出當x變化時f′（x）、f（x）的變化情況表，根據表格即可求得函數的極大值．

解答：解：∵f（x）=（x-1）²（x-2），∴f′（x）=（x-1）（3x-5）；
令f′（x）=0，得可能的極值點x₁=1，x₂=

．列表如下：

（-∞，1）

（1，

）

（

，+∞）

f′（x）

f（x）

??↗

極大值

?↘

極小值

↗

∴f（1）=0是函數的極大值．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，可導函數f（x）在x=x₀處取得極值的充要條件是：f′（x₀）=0，且在x=x₀左右兩側導數異號．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為

，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設g（x）=2x+

，x∈[

，4]．
（1）求g（x）的單調區間；（簡單說明理由，不必嚴格證明）
（2）證明g（x）的最小值為g（

）；
（3）設已知函數f（x）（x∈[a，b]），定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-

，

]，則f₁（x）=-1，x∈[-

，

]，f₂（x）=sinx，x∈[-

，

]，設φ（x）=

g(x)+g(2x)

|g(x)-g(2x)|

，不等式p≤φ₁（x）-φ₂（x）≤m恒成立，求p、m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x²-（k²+k+1）x+15，g（x）=k²x-k，其中k∈R．
（1）設p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零點，求實數k的取值范圍；
（2）設函數q(x)=

g(x)x≥0

f(x)x＜0

是否存在實數k，對任意給定的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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下面語句編寫的是求函數f（x）的函數值的算法，這個函數f（x）=

2x，x＜3

2，x=3

x2-1，x＞3

2x，x＜3

2，x=3

x2-1，x＞3

．

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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