Question

已知函數f（x）=2x²-（k²+k+1）x+15，g（x）=k²x-k，其中k∈R．
（1）設p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零點，求實數k的取值范圍；
（2）設函數q(x)=

g(x)x≥0 f(x)x＜0

是否存在實數k，對任意給定的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得p（x）=2x²-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零點，分p（x）在（1，4）上有唯一零點和p（x）
在（1，4）上有2個零點，這兩種情況，分別求出實數k的取值范圍，再取并集，即得所求．
（2）根據q（x）的解析式可得k≠0，當x≥0時，求得q（x）的值域當x＜0時，求得q（x） 的值域，當x₂＞0時，
可得k≤-15；②當x₂＜0時，可得k≥-15，結合①②可得k的值．

解答：解：（1）由題意可得 p（x）=f（x）+g（x）=2x²-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零點．
∴△=（k²+2k+1）-8（15-k）≥0，解得 k≤-17，或 k≥7．
若p（x）在（1，4）上有唯一零點，則 p（1）p（4）=（16-2k）（43-5k）＜0 ①，
或

△＞0 P(1)=0 P(4)＞0

 ②，或 

△＞0 P(1)＞0 P(4)=0

 ③，或

P(1)＞0 P(4)＞0 △=0

 ④．
解①得 8＜k＜

43

5

，解②得k=8，解③得k∈∅，解④可得 k=7．
若p（x）在（1，4）上有2個零點，則有

△＞0 P(1)＞0 P(4)＞0 1＜ k+1 4 ＜4

，解得 7＜k＜8．
綜上可得，實數k的取值范圍為[7，

43

5

）．
（2）函數q(x)=

g(x)x≥0 f(x)x＜0

，即 q(x)=

k 2x -k  ，  x ≥0  2x 2 -(k 2-k+1)x+15 ，  x＜0

．
顯然，k=0不滿足條件，故k≠0．
當x≥0時，q（x）=k²x-k∈[-k，+∞）．
當x＜0時，q（x）=2x²-（k²+k+1）x+15∈（15，+∞）．
記A=[-k，+∞），記 B=（15，+∞）．
①當x₂＞0時，q（x）在（0，+∞）上是增函數，要使q（x₂）=q（x₁），則x₁＜0，且A?B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②當x₂＜0時，q（x）在（-∞，0）上是減函數，要使q（x₂）=q（x₁），則x₁＞0，且B?A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
綜上可得，k=-15滿足條件．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，函數的單調性的應用，體現了化歸與轉化、以及分類討論的數學思想，
屬于中檔題．