Question

若方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有兩個不同的實數解x₁、x₂，求a的取值范圍，并求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：設函數y₁=

3

sinx+cosx，y₂=a，在同一平面直角坐標系中作出這兩個函數的圖象，應用數形結合解答即可．

解答：解：設f（x）=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），x∈[0，2π]．
令x+

π

6

=t，則f（t）=2sint，且t∈[

π

6

，

13π

6

]
在同一平面直角坐標系中作出y=2sint及y=a的圖象，結合函數的圖象可知
當1＜a＜2和-2＜a＜1時，兩圖象有兩個交點，即方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有兩不同的實數解．
當1＜a＜2時，t₁+t₂=π，
即x₁+

π

6

+x₂+

π

6

=π，
∴x₁+x₂=

2π

3

；
當-2＜a＜1時，t₁+t₂=3π，
即x₁+

π

6

+x₂+

π

6

=3π，
∴x₁+x₂=

8π

3

．
綜上可得，a的取值范圍是（1，2）∪（-2，1）．
當a∈（1，2）時，x₁+x₂=

2π

3

；
當a∈（-2，1）時，x₁+x₂=

8π

3

．

點評：本題主要考查了輔助角公式在三角函數的化簡中的應用及方程的根與函數的交點的相互轉化，體現了數形結合思想的應用．