Question

（2013•牡丹江一模）若在曲線f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切線”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=

4- y 2

對應的曲線中存在“自公切線”的有（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：化簡函數(shù)的解析式，結合函數(shù)的圖象的特征，判斷此函數(shù)是否有自公切線．

解答：解：①、x²-y²=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②、y=x²-|x|=

(x- 1 2  )2- 1 4 (x+ 1 2  )2- 1 4

，在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 處的切線都是y=-

1

4

，故②有自公切線．
③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=

3

5

，sinφ=

4

5

，
此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．
④、由于|x|+1=

4-y2

，即 x²+2|x|+y²-3=0，結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
故答案為 C．

點評：本題考查函數(shù)的自公切線的定義，函數(shù)圖象的特征，準確判斷一個函數(shù)是否有自公切線，是解題的難點．