Question

若方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有兩個不同的實數解，則a的取值范圍是（　　）

A．a∈（-2，0）∪（1，2）

B．a∈（-2，2）

C．a∈（-2，1）∪（1，2）

D．a∈（-2，1）

Answer 1

分析：已知方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有兩個不同的實數解，可以將方程轉化為：sin（x+

π

6

）=

a

2

，可以令f（x）=sin（x+

π

6

），h（x）=

a

2

，畫出這兩個函數的圖象，利用數形結合的方法進行求解；

解答：解：∵方程

3

sinx+cosx=a，
∴2sinx（x+

π

6

）=a，即sinx（x+

π

6

）=

a

2

，
可以令f（x）=sinx（x+

π

6

），h（x）=

a

2

，
∵方程

3

sinx+cosx=a在[0.2π]上有兩個不同的實數解，
∴函數f（x）和h（x）的圖象有兩個交點，
如下圖：

∴

π

6

≤x+

π

6

≤2π+

π

6

∴h（x）=

a

2

，要使f（x）與h（x）有兩個交點，
∴h（x）在直線m與n和直線n與l之間，有兩個交點，
∴

1

2

＜

a

2

＜1或-1＜

a

2

＜

1

2

，
∴1＜a＜2或-2＜a＜1；
故選C；

點評：本題主要考查函數的零點及函數的零點存在性定理，函數的零點的研究就可轉化為相應方程根的問題，數形結合的思想得到了很好的體現．