Question

已知函數f（x）=x²-2x|x-a|，a∈R．
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在區間[0，2]上的最小值是-1，求實數a的值．

Answer 1

考點：函數的單調性及單調區間,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）當x≥2時，當x≤2時，去掉絕對值，配方，討論對稱軸和區間的關系，即可得到單調區間；
（2）去絕對值，寫出分段函數并配方，再討論a的范圍，得到最小值，解方程，即可判斷．

解答： 解：（1）當x≥2時，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，在（2，+∞）上遞減，
則f（x）的減區間為（2，+∞），無增區間；
當x≤2時，f(x)=3x2-4x=3(x-

2

3

)2-

4

3

，在(-∞，

2

3

)上遞減，在(

2

3

，2)上遞增，
則f（x）的增區間為(

2

3

，2)，減區間為(-∞，

2

3

)；
（2）f(x)=

-x2+2axx≥a 3x2-2axx≤a

=

-(x-a)2+a2x≥a 3(x- a 3 )2- a2 3 x≤a

，
當a≥2時，-

a2

3

=-1，a=

3

，不成立，
當0≤a＜2時，-

a2

3

=-1，a=

3

，4a-4=-1，解得a=

3

4

，
則a=

3

，a=

3

4

，
當a＜0時，不成立．
則a=

3

或

3

4

．

點評：本題考查函數的單調性和運用，考查二次函數的最值，注意對稱軸和區間的關系，屬于中檔題．