Question

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點．

(1)求證://平面；

(2)求與平面BDE所成角的余弦值；

(3)線段PC上是否存在一點M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）cosCBN= ；（3）不存在點M滿足題意.

【解析】

試題分析：（1）證明BE∥平面PAD，只需證明AF∥BE；
（2）過C作DE的垂線，交DE的延長線于N，連接BN，證明∠CBN就是直線BC與平面BDE所成角，從而可求BC與平面BDE所成角的余弦值；

（3）假設PC上存在點M，使得AM⊥平面PBD，則AM⊥PD，可得點M與E重合．取CD中點G，連接EG，AG，則BD⊥AG，證明PD⊥平面BCD，從而PD⊥AD，這與△PAD是等邊三角形矛盾．

試題解析：(1)取PD中點F，連接AF, EF

則,

又，

∴

∴

∴四邊形ABEF是平行四邊形 2分

∴AF∥BE 又平面PAD，平面PAD

∴//平面 4分

（2）過C作DE的垂線，交DE的延長線于N，連接BN

∵平面底面，

∴平面

∴AF 又AF⊥PD，

∴AF⊥平面PCD

∴BE⊥平面PCD

∴BE⊥CN，又CN⊥DE，

∴CN⊥平面BDE

∴CBN就是直線與平面BDE所成角 7分

令AD=1，,易求得，

∴sinCBN=

∴cosCBN=

故與平面BDE所成角的余弦值為 9分

（3）假設PC上存在點M，使得AM⊥平面PBD 則AM⊥PD,由（2）AF⊥PD

∴PD⊥平面AFM，又PD⊥平面ABEF

故點M與E重合。 1分

取CD中點G，連接EG,AG

易證BD⊥AG，又BD⊥AE

∴BD⊥平面AEG

∴BD⊥EG

∴BD⊥PD,又PD⊥CD

∴PD⊥平面BCD

從而PD⊥AD,這與⊿PAD是等邊三角形矛盾

（另解坐標法）

證明：取AD中點O，連接PO∵側面PAD是等邊三角形 ∴PO⊥AD

又∵平面底面， ∴PO⊥平面ABCD 2分

設，如圖建立空間坐標系，則

，,

，. 3分

（1），，

所以，

∵平面，∴平面. 5分

（2），

設平面的一個法向量為

則 求得平面的一個法向量為； 7分

， 8分

所以直線與平面所成角的余弦值為。 10分

（3）設存在點M(滿足AM⊥平面PBD，則M、P、C三點共線

因為，所以存在實數，使得

即 11分

∵AM⊥平面PBD ∴ 得（不合題意）

故在線段上不存在點M滿足題意。 14分

考點：(1)空間的位置關系的證明；（2）線面角的求法；（3）向量在立體幾何中的應用.