Question

設函數f（x）=cos2x+2

3

sinx•cosx+m（m，x∈R）
（1）化簡函數f（x）的表達式，并求函數f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求實數m的值，使函數f（x）的值域為[

1

2

，

7

2

]．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡函數f（x）的表達式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m，從而可求函數f（x）的最小正周期；
（2）根據x的取值范圍，求出2x+

π

6

的范圍，然后求出m的值；

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+2

3

sinx•cosx+m
=cos2x+

3

sin2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+m，
故T=

2π

2

=π．
（2）假設存在實數m符合題意，則
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin（2x+φ）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）+m∈[m-1，2+m]
又∵f（x）∈[

1

2

，

7

2

]，
∴m=

3

2

．

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的定義域值域問題，屬于基本知識的考查．