Question

已知函數f（x）=|x-1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=

-2x-2， x＜-3 4， -3≤x≤1  2x+2， x＞1

，分類討論求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．
（Ⅱ）要證的不等式即|ab-1|＞|a-b|，根據|a|＜1，|b|＜1，可得|ab-1|²-|a-b|² ＞0，從而得到所證不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=

-2x-2， x＜-3 4， -3≤x≤1  2x+2， x＞1

，
當x＜-3時，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
當-3≤x≤1時，f（x）≤8不成立；
當x＞1時，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以，不等式f（x）≤4的解集為{x|x≤-5，或x≥3}．
（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（

b

a

），即|ab-1|＞|a-b|．
因為|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
所以|ab-1|＞|a-b|，故所證不等式成立．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．