Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．數列{b_n}的前n項和為T_n，滿足T_n=1-b_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）寫出一個正整數m，使得

1

am+9

是數列{b_n}的項；
（3）設數列{c_n}的通項公式為cn=

an

an+t

，問：是否存在正整數t和k（k≥3），使得c₁，c₂，c_k成等差數列？若存在，請求出所有符合條件的有序整數對（t，k）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由已知，有

2a1+16d=34 3a1+3d=9

，…（2分）
解得a₁=1，d=2，…（3分）
所以{a_n}的通項公式為a_n=2n-1（n∈N^*）．…（4分）
（2）當n=1時，b₁=T₁=1-b₁，所以b1=

1

2

．…（1分）
由T_n=1-b_n，得T_n+1=1-b_n+1，兩式相減，得b_n+1=b_n-b_n+1，
故bn+1=

1

2

bn，…（2分）
所以，{b_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，所以bn=(

1

2

)n．…（3分）

1

am+9

=

1

2m+8

=

1

2(m+4)

，…（4分）
要使

1

am+9

是{b_n}中的項，只要m+4=2ⁿ即可，可取m=4．…（6分）
（3）由（1）知，cn=

2n-1

2n-1+t

，…（1分）
要使c₁，c₂，c_k成等差數列，必須2c₂=c₁+c_k，即

6

3+t

=

1

1+t

+

2k-1

2k-1+t

，…（2分）
化簡得k=3+

4

t-1

．…（3分）
因為k與t都是正整數，所以t只能取2，3，5．…（4分）
當t=2時，k=7；當t=3時，k=5；當t=5時，k=4．…（5分）
綜上可知，存在符合條件的正整數t和k，所有符合條件的有序整數對（t，k）為：（2，7），（3，5），（5，4）．…（6分）