Question

在△ABC中，角A、B、C所對的對邊長分別為a、b、c；
（1）設向量

x

=(sinB，sinC)，向量

y

=(cosB，cosC)，向量

z

=(cosB，-cosC)，若

z

∥(

x

+

y

)，求tanB+tanC的值；
（2）若sinAcosC+3cosAsinC=0，證明：a²-c²=2b²．

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量的坐標寫出兩個向量的和的坐標，根據向量平行的條件寫出關于三角形內角的三角函數的關系式，在關系是兩邊同除以兩個角的余弦值的積，把弦化切，得到結果．
（2）本題所給的條件是既有邊又有角，首先要統一為一種變量之間的關系，角化邊，利用正弦定理和余弦定理轉化，得到邊之間的有一個關系完成證明．

解答：解：（1）∵向量

x

=(sinB，sinC)，向量

y

=(cosB，cosC)，
∴

x

+

y

=(sinB+cosB，sinC+cosC)． 
由

z

∥(

x

+

y

)，得 cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，
即 sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC．
所以，tanB+tanC=

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=

sinBcosC+cosBsinC

cosBcosC

=-2．
（2）若sinAcosC+3cosAsinC=0，則 sinAcosC=-3cosAsinC，
把角之間的關系變化為邊之間的關系，
則由正弦定理及余弦定理有：a•

a2+b2-c2

2ab

=-3

b2+c2-a2

2bc

•c，
化簡并整理得：a²-c²=2b² ．

點評：本題是一個三角函數同向量結合的問題，是以向量平行的充要條件為條件，得到三角函數的關系式，是一道綜合題，在高考時常出現，是一個近幾年常考的問題．