Question

在R上定義運算?：x?y=x（1-y），若不等式（x-a）?（x+a）＜1對一切實數x都成立．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據新定義化簡不等式，得到a²-a-1＜x²-x因為不等式恒成立，即要a²-a-1小于x²-x的最小值，先求出x²-x的最小值，列出關于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范圍．

解答：解：由已知：（x-a）?（x+a）＜1，
∴（x-a）（1-x-a）＜1，
即a²-a-1＜x²-x．
令t=x²-x，只要a²-a-1＜t_min．
t=x2-x=(x-

1

2

)2-

1

4

，當x∈R，t≥-

1

4

．
∴a2-a-1＜-

1

4

，即4a²-4a-3＜0，
解得：a∈(-

1

2

，

3

2

)．

點評：考查學生理解新定義并會根據新定義化簡求值，會求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立時所取的條件．