Question

已知f（x）=e^x，g(x)=

x2+4 -x

2

．
（Ⅰ）若關于x的方程[f（x）]²+m•f（x）+4=0有兩個不相等的正根，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）直線y=t（t＞1）與y=f（x），x=0，y=g（x）的圖象分別交于M，S，N三點．求證：不存在兩個不同的t使得

|SM|

|SN|

的值相等．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于（e^x）²+m•e^x+4=0有兩個不相等的正根，若令t=e^x，則關于t的方程t²+m•t+4=0有兩個大于1且不相等的根，可得

1+m+4＞0 △=m2-16＞0 - m 2 ＞1

，解得即可．
（II）聯立

y=t y=ex

，解得x=lnt，可得|SM|=lnt．聯立

y=t y= x2+4 -x 2

，解得x=

1-t2

t

，可得|SN|=

t2-1

t

．于是

|SM|

|SN|

=

tlnt

t2-1

，令h(t)=

tlnt

t2-1

．不存在兩個不同的t（t＞1）使得

|SM|

|SN|

的值相等?不存在兩個不同的t（t＞1）使h（t）的值相等．利用導數研究函數h（t）在區間（1，+∞）上具有單調性即可．

解答：解：（Ⅰ）∵（e^x）²+m•e^x+4=0有兩個不相等的正根，令t=e^x
∴關于t的方程t²+m•t+4=0有兩個大于1且不相等的根，
∴

1+m+4＞0 △=m2-16＞0 - m 2 ＞1

，解得m∈（-5，-4）．
（Ⅱ）聯立

y=t y=ex

，解得x=lnt，∴|SM|=lnt．
聯立

y=t y= x2+4 -x 2

，解得x=

1-t2

t

，∴|SN|=

t2-1

t

．
∴

|SM|

|SN|

=

tlnt

t2-1

，令h(t)=

tlnt

t2-1

．
不存在兩個不同的t（t＞1）使得|SM|=|SN|的值相等?不存在兩個不同的t（t＞1）使h（t）的值相等．
又h′(t)=

t2-t2lnt-lnt-1

(t2-1)2

．
令u（t）=t²-t²lnt-lnt-1，∴u′(t)=t-2tlnt-

1

t

，u″(t)=

1

t2

-1-2lnt．
∵當t＞1時，u″(t)=

1

t2

-1-2lnt＜0，∴u'（t）在（1，+∞）上單調遞減．
∴當t＞1時，u'（t）＜u'（1）=0，
∴u（t）在（1，+∞）上單調遞減，∴當t＞1時，u（t）＜u（1）=0．
∴當t＞1時，h′(t)=

u(t)

(t2-1)2

＜0，∴h（t）在（1，+∞）上單調遞減．
∴不存在兩個不同的t（t＞1）使h（t）的函數值相等，結論得證．

點評：本題考查了通過換元法把含有兩個不相等的正根的一元二次方程掌握含有兩個大于1且不相等的根的一元二次方程的解的情況、使得|SM|=|SN|的值相等?不存在兩個不同的t（t＞1）使h（t）的值相等的問題轉化為研究函數的單調性的轉化思想方法，屬于難題．