Question

已知f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的單調增區間；
（2）若f（x）在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍；
（3）是否存在a，使f（x）在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令導數大于0，解出x，可得函數的單調遞增區間；
（2）f（x）在R上單調遞增，則f′（x）=e^x-a≥0恒成立，分離參數，即可求得a的取值范圍；
（3）由題意知，f（x）在（-∞，0]上單調遞減，等價于e^x-a≤0即a≥e^x在（-∞，0]上恒成立．由于y=e^x在（-∞，0]上為增函數，得到函數的最大值是1，則a≥1．同理得到，f（x）在[0，+∞）上單調遞增時，a≤1．故滿足條件的實數a為1．

解答：解：f′（x）=e^x-a．
（1）若a≤0，f′（x）=e^x-a≥0恒成立，即f（x）在R上遞增．
若a＞0，e^x-a≥0，∴e^x≥a，x≥lna．
∴f（x）的遞增區間為（lna，+∞）．
（2）∵f（x）在R內單調遞增，∴f′（x）≥0在R上恒成立．
∴e^x-a≥0，即a≤e^x在R上恒成立．
∴a≤（e^x）_min，又∵e^x＞0，∴a≤0．
（3）由題意知，若f（x）在（-∞，0]上單調遞減，
則e^x-a≤0在（-∞，0]上恒成立．
∴a≥e^x在（-∞，0]上恒成立．
∵y=e^x在（-∞，0]上為增函數．
∴x=0時，y=e^x最大值為1．∴a≥1．
同理可知，e^x-a≥0在[0，+∞）上恒成立．
∴a≤e^x在[0，+∞）上恒成立．
∵y=e^x在[0，+∞）上為增函數．
∴x=0時，y=e^x最小值為1．∴a≤1，
綜上可知，當a=1時，滿足f（x）在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．