Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

m

=(sinB+sinc，sinA-sinB)，

n

=(sinB-sinC，sin(B+C))，且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA=

4

5

，求cosB的值．

Answer 1

分析：（1）兩個向量數量積公式及兩個向量垂直的性質可得b²-c²+a²-ab=0，再利用余弦定理求出cosC的值，即可得到C的值．
（2）由sinC＞sinA及正弦定理可得c＞a，利用同角三角函數的基本關系求出cosA，再利用兩角和的余弦公式和誘導公式
求出cosB的值．

解答：（1）由

m

⊥

n

可得，

m

•

n

=sin²B-sin²C+sin²A-sinAsinB=0，
由正弦定理，得b²-c²+a²-ab=0．…（2分）
再結合余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

．…（4分）
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

．…（6分）
（2）∵sinC=

3

2

=

75

10

＞

64

10

=

4

5

=sinA，∴由正弦定理知c＞a，
故

π

3

=C＞A，故cosA=

3

5

．…（9分）
∴cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=

4 3 -3

10

．…（12分）

點評：本題主要考查兩個向量數量積公式的應用，兩個向量垂直的性質，余弦定理和誘導公式的應用，三角形中大邊對大角，
兩角和的余弦公式及同角三角函數的基本關系的應用，屬于中檔題．