Question

如圖（1）在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD且AB=AD=CD=1，現以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD將正方形翻拆，使平面ADEF與平面ABCD互相垂直如圖（2）。  
（1）求證平面BDE⊥平面BEC  
（2）求直線BD與平面BEF所成角的正弦值。

Answer 1

⑴證  ∵平面ADEF⊥平面ABCD        
又∵ADEF是正方形   ∴ED⊥AD       
∴ED⊥平面ABCD       
又∵平面EDB⊥平面ABCD        
又∵ABCD是直角梯形AB∥CD,AB⊥AD  
AB=AD=CD=1得DB=BC=  
∴BD²+BC²=DC²∴∠DBC=90°
∴BC⊥BD∴BC⊥平面EBD        
∴平面EBD⊥平面 EBC                     
⑵解：∵ADEF是正方形    
∴AD∥EF  平面BEF,平面BEF
∴AD∥平面BEF    
∴D到平面BEF的距離與A到平面BEF的距離相等
又∵AD⊥AF,AD⊥AB∴AD⊥平面BEF  
∵AD∥EF∴EF⊥平面ABF   
∴平面ABF⊥平面BEF過A作EB的垂線垂足為H，則AH⊥平面BEF
∴A到平面BEF的距離為AH   
∵AB=AF=1 ∴
又∵  
設BD與平面BEF所成角為
則