Question

如圖（1）在直角梯形PDCB中，PD∥CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=

6

，A是線段PD的中點，E是線段AB的中點；如圖（2），沿AB把平面PAB折起，使二面角P-CD-B成45°角．
（1）求證PA⊥平面ABCD；
（2）求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中，直角梯形PDCB中，PD∥CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC=

6

，A是線段PD的中點，E是線段AB的中點，可得AB⊥PA，AB⊥AD，由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAD，進(jìn)而DC⊥平面PAD，故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，根據(jù)已知中二面角P-CD-B成45°角，可得PA⊥AD，結(jié)合PA⊥AB及線面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABCD．
（2）以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分析求出平面PEC和平面PAD的法向量，代入向量坐標(biāo)公式，即可求出答案．

解答：證明：（1）∵AB⊥PA，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD（2分）
∵AB∥DC∴DC⊥平面PAD，
DC⊥PD，DC⊥AD
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，故∠PDA=45°（4分）
∵PA=AD=3，∠PDA=45°，∴PA⊥AD
又∵PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD（6分）
解：（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（

6

，0，0），C（

6

，3，0），
D（0，3，0），P（0，0，3），E（

6

2

，0，0）（8分）
由（1）知

AB

=（

6

，0，0）是平面PAD的法向量，
設(shè)平面PEC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

PE - n =0 PC - n =0

，得

( 6 2 ，0，-3)-(x，y，z)=0 ( 6 2 ，0，-3)- (x，y，z)=0

（10分）
由

x= 6 z 6 x+3y-3z=0

，
令z=1得

n

=（

6

，-1，1），（12分）
設(shè)向量

AB

與

n

所成的角為θ，
則：cosθ=

AB - n

| AB |-| n |

=

( 6 ，0，0)?( 6 ，-1，1)

6 ×2 2

=

3

2

∴向量

AB

與

n

所成的角為30°，（13分）
故平面PEC和平面PAD所成的二面角為30°．（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是空間中線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．