Question

3．如圖所示，薄壁圓柱形容器置于水平地面，容器的底面積S=8×10^-3m²，容器高0.2m，內盛0.17m深的水．A₁和A₂為兩個均勻實心立方體物塊（不吸水），A₁的質量為0.185kg，A₂的體積為3.2×10^-4m³，（已知ρ_水=1.0×10³kg/m³，g取10N/kg）．
（1）水對容器底部的壓力為多少？
（2）將A₁釋放，沉浸在水中，靜止后受到容器底對它的支持力為0.6N，求A₁的體積．
（3）只將A₂緩慢浸入在水中，當水對容器底部的壓強最大時，A₂的密度至少為多少？

Answer 1

分析 （1）利用液體壓強公式計算水對容器底部的壓強；根據F=pS求出壓力大小；
（2）對物體受力分析，根據重力和支持力求出浮力，根據阿基米德原理求出A₁的體積；
（3）水面上升至0.2m時，水對容器底部的壓強是最大的；根據底面積和高度求出水上方的體積，并與物體A₂的體積比較，從而判定A₂的浮沉狀態；根據浮沉狀態求出浮力；根據浮沉條件求出A₂的密度．

解答 解：（1）水對容器底部的壓強：
p=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.17m=1.7×10³Pa；
容器底部受到的壓力為：
F=pS=1.7×10³Pa×8×10^-3m²=13.6N；
（2）A₁的重力為：G₁=m₁g=0.185kg×10N/kg=1.85N；
A₁浸沒在水中，A₁受到三個力的共作用：豎直向下的重力G、豎直向上的支持力F和浮力F_浮；
根據力的平衡條件可得G=F+F_浮，則A₁受到的浮力為：F_浮=G-F=1.85N-0.6N=1.25N；
由阿基米德原理可知，A₁排開的水的體積即A₁的體積為：
V₁=V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{1.25N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=1.25×10^-4m³；
（3）A₂在水中的狀態可能有三種情況：漂浮、懸浮或下沉；A₂漂浮時其密度小于水的密度，懸浮時其密度等于水的密度，下沉時其密度大于水的密度；由于本題求的是A₂的最小密度，故A₂在水中處于漂浮狀態時，其密度最小；
將A₂緩慢浸入在水中，當水面上升至0.2m時，水對容器底部的壓強是最大的；
水面上方的體積即排開的水的體積為：
V_2排=Sh'=8×10^-3m²×（0.20cm-0.17cm）=2.4×10^-4m³＜3.2×10^-4m³，
此時A₂漂浮，A₂受到的浮力為：F'_浮=G₂，即ρ_水gV_2排=ρ₂gV₂，
帶入數據得：1.0×10³kg/m³×10N/kg×2.4×10^-4m³=ρ₂×10N/kg×3.2×10^-4m³，
解得A₂的最小密度：ρ₂=0.75×10³kg/m³．
答：（1）水對容器底部的壓力為13.6N；
（2）將A₁釋放，沉浸在水中，靜止后受到容器底對它的支持力為0.6N，求A₁的體積為1.25×10^-4m³；
（3）只將A₂緩慢浸入在水中，當水對容器底部的壓強最大時，A₂的密度至少為0.75×10³kg/m³．

點評 此題考查重力的計算、液體壓強的計算、阿基米德原理、浮沉條件的應用，有一定的難度．